Une courte démonstration de la formule de Campbell-Hausdorff
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We give a simple proof of an algorithm for computing the terms of the Campbell-Hausdorff formula. 2000 AMS Subject Classification: Primary: 22E15; Secondary: 22E60 Soient G un groupe de Lie et g = T1G son algèbre de Lie, vue comme l’espace tangent à G en l’élément neutre 1. Alors il existe un voisinage V de 0 dans g et un voisinage U de 1 dans G tels que la restriction de l’application exponentielle exp : V → U est un difféomorphisme. Son inverse U → V s’appelle le logarithme et s’écrit log. Si deux éléments A et B de g sont suffisamment proches de l’origine, alors la formule de Campbell-Hausdorff donne l’expression de log(expA expB) en tant que série entière dans l’algèbre de Lie engendrée par A et B : expA expB = exp ( A + B + 1 2 [A, B] + 1 12 ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + · · · ) . (1) Dans cette note nous donnons une démonstration simple d’un algorithme pour calculer les termes de la série (1). Cet algorithme est équivalent à celui de Hausdorff ([8], Eq. (25), p. 29), qui considère le problème d’un point de vue symbolique. 1. Des séries entières formelles Nous écrivons expX pour l’application exponentielle d’un groupe de Lie et e pour la série entière formelle e = 1 + y + 1 2! y + 1 3! y + · · · . La série de Todd et son inverse sont les séries entières formelles td(y) = y 1− e−y = 1 + y 2 + y 12 − y 4 720 + y 30240 − y 8 1209600 + y 47900160 + · · · , td−1(y) = 1− e−y y = 1− 1 2! y + 1 3! y − · · · . ISSN 0949–5932 / $2.50 c © Heldermann Verlag
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